[公開日] 2024 年 4 月 15 日午前 8 時 27 分 EDT
[質問]レイハネ、7 歳、テヘラン、イラン
[答えてくれる先生] Manil Suri
ゲームを考えてみましょう。友達に好きな数字を教えてもらい、それよい大きい方の数字を返します。 彼らが思いついた数字に「1」を加えれば、間違いなく勝ちます。
その理由は、数字が永遠に続くからです。 最高の数字はありません。 しかし、なぜでしょう？ 数学の教授として、私はあなたの答えを見つけるお手伝いをします。
まず、数字とは何か、そしてその由来を理解する必要があります。 あなたが数字について学んだのは、数値によって数えることができるようになるからです。 初期の人類も 同様のニーズを持っていました。狩りで手に入れた獲物を数えたり、経過日数を記録したりする必要がありました。 だからこそ彼らは数字を発明したのです。
しかし当時は数値も限られており、形式も非常にシンプルでした。 多くの場合、「数字」は骨に刻まれた単なる刻み目で、最大でも数百まででした。
数字が大きくなったとき
時が経つにつれて、人々のニーズは増大しました。 家畜の群れを数え、商品やサービスを取引し、建物や船の航行のために測定を行う必要がありました。 これにより、より大きな数とそれらを表現するより良い方法が発明されました。
約 5,000 年前、エジプト人はさまざまな数字を表す記号を使い始め、最終的な記号は 100 万を表しました。 彼らは通常、もっと大きな量に遭遇することはなかったので、同じ最後の記号を「多く」を表すために使用しました。
ピタゴラス (Pythagoras) を始めとしてギリシャ人は、数字を単なる数え方の道具として見るのではなく、自分自身のために数字を研究した最初の人々でした。 数字の重要性について本を書いた者として、私はこのステップが人類にとってどれほど重要であったかをどれだけ強調してもしすぎることはありません。
紀元前 500 年までに、ピタゴラスとその弟子たちは、1、2、3 などの数え数字が無限であることを認識しただけでなく、ピンと張った弦を弾いたときに鳴る音のようなすばらしいものを説明するためにそれらの数字を使用できることにも気づいていました。
ゼロは重要な数字です
しかし、問題がありました。 ギリシャ人は非常に大きな数字を頭の中で考えることはできましたが、それを書き留めるのは困難でした。 それは彼らが 0という数字 を知らなかったからです。
大きな数を表現する上でゼロがどれほど重要であるかを考えてみましょう。 1 から始めて、最後にゼロをどんどん追加して、100 万（1,000,000、または 1 の後に 6 つのゼロ）、または 9 つのゼロを含む 10 億、そして 12 のゼロの １兆 のような数字をすばやく取得できます。
何世紀も前にインドで発明されたゼロがヨーロッパに伝わったのは、西暦 (CE: Christian era) 1200 年頃のことです。 これが今日の数字の書き方につながりました。
この簡単な歴史から、数字が何千年にもわたって発展してきたことが明らかになります。 エジプト人は100万をあまり使い道がありませんでしたが、私たちには確かに使い道があります。 経済学者は、政府支出は通常数百万ドル単位で測定されると言うでしょう。
また、科学の進歩により、私たちはさらに大きな数が必要になるところまで到達しました。 たとえば、私たちの銀河系には約 1,000 億個の星、つまり 100,000,000,000 個の星があり、宇宙の原子の数は 1 の後に 82 個のゼロが続くかもしれません。
このような大きな数字をイメージするのが難しくても、心配する必要はありません。 エジプト人が100万を超える数を扱ったのと同じように、それらを「many: 多数」と考えるだけで問題ありません。 これらの例は、数字が際限なく継続しなければならない理由の 1 つを示しています。 もし上限があったとしても、何か新しい使い方や発見があれば、必ずそれを超えることになるでしょう。
ルールの例外
しかし、特定の状況下では、実際的な目的で数値がそのように設計されているので、数値に最大値が存在することがあります。
良い例は、時計、または時計算術 (a clock – or clock arithmetic) です。時計では、1 から 12 までの数字のみが使用されます。12 時を過ぎると、再び 1 時に戻るだけなので、13 時はありません。 友達と時計算術を使って「大きい数字」ゲームをした場合、友達が 12 という数字を選んだら、あなたは負けます。
数字は人間が発明したものなので、終わりなく続くようにするにはどうすればよいでしょうか? 数学者は 1900 年代初頭からこの問題に取り組み始めました。 彼らが考え出したのは、2 つの仮定に基づいていました。最初の仮定は、0 が開始数値であること。２つ目の仮定は任意の数値に 1 を加算すると常に新しい数値が得られるということです。
これらの仮定により、すぐに数えられる数字のリストが得られます。0 + 1 = 1、1 + 1 = 2、2 + 1 = 3 など、終わりなく続く進行です。
あなたは、なぜこれら 2 つのルールが仮定であるのか疑問に思われるかもしれません。 1 つ目のルールが仮定である理由は、数値 「0」 を定義する方法が、私たちには実際にはわからないためです。たとえば、「0」は「何もない」と同じですか? もしそうであれば、「何もない」とは（数学では）正確に何を意味しますか?
2 番目のルールが仮定である理由は、さらに奇妙に思えるかもしれません。 だって、2 に 1 を足すと新しい数字 3 が得られるのと同じように、2002 に 1 を足すと新しい数字 2003 が得られることを私たちは簡単に示すことができるんですから。
しかし、これはどんな数字にも当てはまると言っていることに注意してください。1 を足す数式の例題 の数は無限にあるため、すべての例題についてこれを十分に検証することはできません。 限られた数のステップしか実行できない人間として、私たちは終わりのないプロセスについて主張するときは常に注意しなければなりません。そして特に数学者は、何事も当然のことと考えることを拒否します。だから仮説なのです。
そこで、数字に終わりがない理由はここにあります。それは、私たちが数字を定義する方法にあります。
さて、負の数について
負の数 -1、-2、-3 などはこれらすべてにどのように当てはまりますか? 「マイナス 1」のリンゴやオレンジを想像するのは難しいため、古い時代から人々はそのような数字について非常に懐疑的でした。 遅くとも 1796 年には、数学の教科書は負の数の使用に対して警告していました。
負の数は計算の問題に対処するために作成されました。 合計する場合は正の数で問題ありません。 しかし、引き算になると、1 マイナス 2 や 2 マイナス 4 のような差を処理できません。数値を自由に引き算できるようにしたい場合は、負の数も必要です。
負の数を作成する簡単な方法は、すべての数字 (0、1、2、3 およびその他) が直線上に等間隔に描かれていることを想像することです。 ここで、ミラーが 0 に配置されていると想像してください。次に、ライン上の +1 の反射として -1 を定義し、+2 の反射として -2 を定義します。 このようにして、すべての負の数が得られます。
おまけに、プラスの数と同じだけマイナスの数もあるから、マイナスの数も際限なく続くはずだということもわかるでしょう。
この記事は、クリエイティブコモンズライセンス(CCL)の下で The Conversation と各著作者からの承認に基づき再発行されています。日本語訳は archive4kids の翻訳責任で行われています。オリジナルの記事を読めます。original article.
